• Hoje estudamos estados coerentes do OH. Começamos resolvendo o OH clássico. Em seguida resolvemos o OH quântico, e impusemos que queríamos que os valores esperados x(t), p(t) e E fossem os valores clássicos. Mostramos que isso é conseguido se o estado inicial do OH quântico for um auto-estado do operador de aniquilação, com autovalor correspondente às condições iniciais do OH clássico.
• Encontramos a expansão de estados coerentes na base de auto-estados da energia.
• Encontramos a energia de um estado coerente, e o auto-valor de energia mais provável.
• Vimos que estados coerentes são o estado fundamental do OH transladado. Essa translação é uma generalização das translações no espaço real, que já estudamos. Aqui temos translações no espaço de fase, ou seja, transformações unitárias que além de transladar a função de onda, dá a ela um dado momento inicial também.
• Na próxima lista de exercícios vocês vão mostrar que ao ser iniciado num estado coerente, o OH quântico continua sendo um estado coerente. Outra coisa a ser provada é que estados coerentes também são estados de incerteza mínima, mas isso é fácil.

A aula de hoje corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 23 a 28.

• OH quântico: encontramos o estado fundamental. Vimos como encontrar os estados excitados.
• Discutimos um pouco sobre o efeito Casimir.
• Calculamos as variâncias de x e p para o estado fundamental. Vocês vão fazer o mesmo para outros auto-estados de energia na próxima lista, que já está disponível.
• Encontramos as expressões para os observáveis x(t) e p(t) do OH de duas formas: usando as equações de movimento de Heisenberg, e calculando diretamente os observáveis a partir do operador de evolução temporal e da fórmula de Baker-Hausdorf-Campbell. Na próxima aula vamos estudar estados coerentes do OH.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 19 a 22.

• Usamos a descrição de Heisenberg para resolver o problema da partícula 1D com potencial arbitrário. Para essa situação, mostramos o teorema de Ehrenfest: os valores esperados da MQ seguem as trajetórias clássicas.
• Na representação de Heisenberg, os observáveis mudam com t. Logo, seus autovetores também, e eles formam uma base. Vimos como é a dependência temporal desses vetores-base.
• Começamos a resolver o problema do oscilador harmônico quântico unidimensional. Introduzimos os operadores e o operador número , e vimos que a Hamiltoniana é proporcional ao operador N, logo para encontrar os auto-estados de H, basta encontrar os auto-estados de N. Vimos o efeito de sobre os auto-estados de N, o que justifica seus nomes de operador de aniquilação e criação. Encontramos o espectro de N, logo o espectro de energia do OH. Na próxima aula vamos achar as funções de onda que são auto-estados de energia.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 11 a 13 e 16 a 18.

• Vimos que os auto-estados de H têm valores esperados que não mudam com t, e por isso são chamados de estados estacionários. Isso deixa de ser verdade, claro, quando temos superposições arbitrárias de auto-estados de H com autovalores diferentes.
• Exemplo de dinâmica: precessão de spin 1/2 sob campo magnético constante.
• Duas descrições diferentes, mas equivalentes, para a dinâmica quântica: descrição de Schrodinger e de Heisenberg.
• Encontramos a equação de movimento para os observáveis na descrição de Heisenberg.
• Partícula livre: resolvemos as equações de movimento para encontrar x(t) e p(t) para a partícula livre, na descrição de Heisenberg. Vimos um resultado simples: que a variância de x de uma função de onda descrevendo uma partícula livre aumenta linearmente com t.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 5 a 10.

Lembro que teremos uma aula extra na próxima segunda-feira, 27/5, no horário 14-16h.

• Passamos uma parte da aula revendo os problemas da P1.
• Começamos a estudar o cap. 3 das notas de aula: dinâmica quântica. Achamos o operador de evolução temporal na MQ, com a mesma forma do outro operador de transformações contínuas que já estudamos, o operador de translação. O operador de evolução temporal é gerado pelo operador Hamiltoniano do sistema.
• Usando a forma do operador infinitesimal de evolução temporal, encontramos uma equação diferencial que é satisfeita pelo operador de evolução temporal: a equação de Schrodinger (para operadores). Dela, encontramos a equação de Schrodinger para estados.
• Em seguida analisamos 3 casos de dependência temporal de H: independente do tempo; dependente do tempo mas de forma que H(t) comuta com H(t'); e com dependência temporal arbitrária. Encontramos a solução formal nos dois primeiros casos, mostrei a solução formal no 3o, sem justificar (fórmula de Dyson).
• Analisamos a dependência temporal de autoestados de H.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 1 a 5.

Hoje tivemos a P1, as notas já estão disponíveis.

Hoje resolvemos vários problemas e tiramos dúvidas, antes da prova na próxima sexta-feira.

• Desigualdades de Bell: definimos a desigualdade CHSH, vimos que a mecânica quântica viola a desigualdade, discutimos as hipóteses usadas para a derivação das desigualdades, e como podemos violar as desigualdades usando, por exemplo, comunicação.
• Em geral, já sabemos que um subsistema de um sistema composto emaranhado não tem uma descrição como um vetor no espaço de Hilbert (não é um estado bem-definido, como costumo dizer). Agora vimos que podemos descrever o estado de qualquer subsistema com uma matriz densidade, a chamada matriz densidade reduzida, obtida a partir da matriz densidade do sistema global fazendo a operação de traço parcial, que expliquei como funciona. Fizemos dois exemplos desse processo.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 1 a 4 (da parte de desigualdades de Bell), e 13 a 15 (do corpo do capítulo).

• Passamos pouco mais de metade da aula discutindo os problemas da lista 2.
• Voltando aos sistemas quânticos compostos: como definir o produto tensorial para criar bases para o espaço de Hilbert, e para descrever operadores no sistema composto.
• Estados emaranhados e estados produto: definição, provamos que um certo estado é emaranhado, discutimos propriedades e aplicações de estados emaranhados.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 10 a 12.

• Formalismo do operador densidade: como definir o operador densidade, de forma ao seu valor esperado dar o valor esperado de um ensemble estatístico de estados puros.
• 3 propriedades que definem o operador densidade: positividade, hermiticidade, traço=1.
• Propriedades do espectro de uma matriz densidade qualquer. Como distinguir um operador densidade misto de um puro. Exemplos de operadores densidade.
• Começamos a discutir como descrever sistemas compostos em MQ.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 2 a 10.

• Vimos como encontrar a função de onda no espaço dos momentos; ela e a função de onda no espaço das posições são relacionadas pela transformada de Fourier (e sua inversa).
• Exemplo: calculamos a função de onda no espaço dos momentos para funções de onda Gaussianas; vimos que elas representam estados de incerteza mínima.
• Discutimos brevemente como fica a generalização da descrição de uma partícula livre para se movimentar no espaço tridimensional.
• Começamos a discutir o capítulo 2, motivando a necessidade de uma nova maneira de representar estados quânticos, que sirva para descrever misturas estatísticas de estados puros (puro=descrito por um vetor no espaço de Hilbert), e que também sirva para descrever subsistemas de um sistema quântico.
• Reescrevemos a regra de cálculo de probabilidades na MQ usando o traço, como preparação para aprendermos o formalismo dos operadores densidade.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 54 a 58, e cap. 2, página 1.

• Fizemos uma pequena revisão do que tínhamos visto na última aula, em particular sobre o operador de translação infinitesimal e finito.
• Listei a definição de grupo matemático, e passamos um bom tempo discutindo exemplos de subgrupos, grupos de simetria, etc. Isso foi um parêntesis matemático, mas será útil quando estudarmos simetrias. Reparem que há um erro no exemplo a) da página 49-c do cap. 1, vocês encontraram? Estas notas de aula me pareceram ter o nível adequado, deem uma olhada.
• Voltando à partícula em 1D, vimos como encontrar elementos de matriz do operador p, e com isso encontramos a representação do operador p na base de auto-estados de posição.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 50 a 53.

• Na última aula começamos a estudar translações. Antes de prosseguirmos, vimos algumas propriedades gerais de transformações de estados representadas por parâmetros contínuos. Exemplos: translações, evolução temporal, rotações. Estudando grupos contínuos de transformações parametrizadas por um parâmetro contínuo, encontramos a forma do operador de transformação infinitesimal, e também a forma do operador de transformação finita. Encontramos também o comutador do gerador das translações com o operador posição.
• Voltando às translações, comparamos o operador quântico de translação infinitesimal com a função geradora de translações infinitesimais em mecânica clássica, para encontrar a identidade do gerador das translações: é o momento (devidamente multiplicado por 1/). Como já sabíamos o comutador de K com x, encontramos a relação de comutação fundamental entre x e p. Aplicamos o princípio de incerteza generalizado para achar a tradicional relação entre variâncias de x e p.
• Vimos que a comutação de translações (em mecânica clássica) leva, na MQ, à comutação dos diferentes componentes do momento p. Com isso, podemos definir uma base para os estados de uma partícula, consistindo nos auto-estados simultâneos de p_x, p_y e p_z.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 45 a 50.

• Relembramos a interpretação correta da relação de incerteza de Heisenberg, dada em termos de variâncias de resultados de duas medidas incompatíveis.
• Vimos que existe uma relação entre incerteza, erro e perturbação de medidas conjuntas de observáveis incompatíveis, a relação de Ozawa, provada rigorosamente em 2003.
• Discutimos mudança de base, mostramos que ela é feita usando um operador unitário.
• Vimos algumas propriedades do Traço, em particular vimos que ele é independente da base usada.
• Observáveis equivalentes são aqueles relacionados por uma transformação unitária. Provamos que observáveis equivalentes têm o mesmo espectro.
• Começamos a discutir a mecânica quântica de espaços de Hilbert contínuos, descrevendo uma partícula. Vimos como as expressões discretas podem ser reescritas para lidar com esse novo espaço de Hilbert.
• Discutimos a descrição de uma partícula e o que acontece numa medida de posição, necessariamente com precisão finita.
• Começamos a estudar translações, nosso primeiro exemplo de simetria em mecânica quântica, e que nos ajudará a encontrar a forma do operador momento na representação de posições (i.e., quando usamos a base de auto-estados do operador posição, que postulamos serem completos para descrever uma partícula).

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 37 a 44.

Esta aula também foi mais longa (aprox. 2h50), nesta semana vimos o equivalente a 3 aulas, daí a numeração estranha acima.

• Vimos exemplos de conjuntos compatíveis de observáveis, e discutimos o significado dos auto-estados comuns de tais observáveis.
• Discutimos o que esperar de medidas sequenciais de observáveis compatíveis.
• Discutimos o que esperar de observáveis não-compatíveis. Em particular, vimos que fazer uma medida e descartar o resultado *não* é equivalente a não fazer uma medida - isto é uma consequência elementar do nosso postulado sobre o estado pós-medida.
• Provamos a relação de incerteza generalizada, e discutimos seu significado. Ao contrário do que às vezes encontramos, o significado não é diretamente relacionado à perturbação que a medida A faz sobre os valores esperados de um outro observável B que não comuta com A. A interpretação correta, bem-justificada, é simplesmente sobre a impossibilidade de termos as duas variâncias simultaneamente muito pequenas, para medidas de observáveis que não comutam feitas em dois diferentes sub-ensembles idênticos de um sistema.
• Também é possível provar uma desigualdade que quantifica o efeito “perturbador” de um observável sobre os valores de um outro observável. Em 2003 Ozawa provou rigorosamente uma desigualdade assim, que ficou conhecida como Relação de medida/perturbação, que veio corrigir essa interpretação errônea da desigualdade de Heisenberg. Em 2012 foi feito um experimento fotônico que mediu essa relação de Ozawa, confirmando as predições da MQ e esclarecendo essa confusão.

O que vimos corresponde ao cap. 1, páginas 29 a 36.

Querem ler sobre um efeito quântico estranho? Uma sugestão é o começo deste artigo, que explica o gedankenexperiment do teste de bombas de Elitzur/Vaidman. Este efeito é a base para outros desenvolvimentos, mais recentemente este protocolo de comunicação quântica contra-factual (em certo sentido, sem transmissão de fótons ou outro subsistema! A expressão chave aqui é “em certo sentido”).

Esta aula foi mais longa (2h45 aproximadamente), para começar a compensar o atraso no início das aulas. Será o caso também da próxima aula.

• Vimos exemplos de representação espectral, representação por matrizes e ação de operadores, usando spins 1/2. Encontramos a forma dos operadores S_z e os operadores de subida S_{+} e S_{-}.
• Vimos o postulado 2, sobre a representação de medidas em mecânica quântica: como calcular as probabilidades. Definimos o valor esperado (= valor médio dos resultados de medida) de um operador e achamos uma fórmula simples para ele em mecânica quântica.
• Vimos o postulado 3, sobre o estado pós-medida do sistema: ele assume a identidade (“colapsa”) do autoestado correspondente ao autovalor obtido na medida.
• Vimos as propriedades que definem um operador de projeção, e mostramos vários exemplos. Usamos operadores de projeção mais gerais para generalizar o postulado 2 e 3 para o caso de autovalores degenerados.
• A partir do experimento básico do Stern-Gerlach sequencial (medir um componente de S, e em seguida um outro componente perpendicular ao primeiro), obtivemos os autoestados de S_x e S_y na base de S_z, portanto também obtivemos os operadores S_x, S_y e S^2 para um spin 1/2.
• Definimos observáveis compatíveis, e provamos que se A e B comutam, então os auto-estados de A também são auto-estados de B. Fizemos isso para o caso de A não-degenerado, mas isso vale também para o caso degenerado, com a adaptação que temos que construir, em cada sub-espaço degenerado, os autovetores simultâneos dos dois operadores. Para uma prova disso, veja o cap. 2, seção 3.a. do vol. 1 do Cohen-Tannoudji. Na lista 1 vocês encontram um exemplo desse caso.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 20 a 29.

• Definimos o conjugado Hermitiano de um operador a partir da ação dos operadores em bras.
• Vimos algumas propriedades do conjugado Hermitiano, e definimos operadores Hermitianos como aqueles que são iguais ao seu conjugado Hermitiano.
• Definimos o produto externo ket-bra, e calculamos seu conjugado Hermitiano.
• Teoremas sobre operadores Hermitianos: autovalores são reais, e autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais entre si. Vimos que podemos usar os autovetores de ops. Hermitianos como base; isso só pode falhar, às vezes, no caso de espaços de Hilbert de dimensão infinita.
• Discutimos a representação de bras, kets e operadores como matrizes; e provamos o teorema espectral.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 10 a 19. Lembrem que como combinamos, as próximas duas aulas devem ter 2h45, para ajudar a recuperar as aulas perdidas pelo início retardado pela greve.

Hoje continuamos discutindo as bases matemáticas da MQ.

• Atividade sobre axiomas de espaços vetoriais, e exemplos.
• Relembramos as propriedades do produto escalar, e vimos 2 teoremas sobre produtos escalares: teorema de Schwarz e desigualdade triangular. Na verdade, usamos Schwarz para provar a desigualdade triangular; mais adiante veremos uma prova de Schwarz.
• Introduzimos o espaço vetorial dual ao dos kets, que é o dos bras, que são funcionais lineares no espaço dos kets.
• Começamos a discutir operadores: operador nulo, (não-)comutatividade, e vimos com detalhes que operadores lineares em espaços de Hilbert finitos são representados por matrizes quadradas.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 5b, 7, 8, 9. A primeira lista de exercícios já está disponível.

Bem-vindos ao curso de Mecânica Quântica 1! Vejam na página inicial as datas provisórias das provas, na semana que vem vamos marcar as aulas extras.

O que vimos hoje:

• Discutimos o experimento de Stern-Gerlach e como ele ilustra várias características contra-intuitivas da mecânica quântica.
• Introduzimos o postulado 1 da MQ, sobre a descrição de estados de sistemas quânticos. Modificamos o postulado para levar em conta normalização e fases globais.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 1 a 6.

Mencionei medidas quânticas generalizadas (conhecidas como POVMs- Positive Operador-Valued Measures), para ler mais a respeito vejam estas notas de aula, a partir da página 15.

Deem uma olhada em alguns links que colecionei, relacionados à matéria do curso.